常见算法题。
鸡兔同笼
故事起源
有若干只鸡和兔在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？
分析
先假设有x只兔子，y只鸡。
则根据头的数量可得到一个信息：x+y=35。
再根据脚的数量可得到一个信息：4x+2y=94。
于是我们把这个问题就变成了一个初中数学问题，即二元一次方程求解。
求解过程也比较简单，通过变形即可。
生活中有很多的问题都可以演变成一个方程求解，比如一般的情况如下。
那有没有快速求解的方法呢？作为一个大学生，肯定要用一些更高级的方法啦
方程求解
从上面可以得出通过消元减少未知数，为消去x2，以a22与a12分别乘上两式，然后相减得到下式。
同理为消去x1，可得到下式。
然后就得到了一般解。
不难发现x1和x2的分母都是一样的，而且只有左边的系数，那能否把这个规律更加通俗易懂的总结一下呢？这就要说到大学中一个非常重要的知识，行列式。
行列式
先把系数和未知数分离开。
对一个2行2列的矩阵定义这样一种运算规则，交叉相乘再相减，这就叫作二阶行列式。
实线为主对角线，虚线为副对角线，即主对角线之积减去副对角线之积。
同样x1和x2的分子也可以用二阶行列式表示。x1的分子是用b1,b2替换第1列，x2的分子就是用b1,b2替换第2列。
则x1和x2就可以用二阶行列式表示出来。
现在我们已经学会了用二阶行列式解二元一次方程
应用
现在我们用行列式来解文章开头的方程，先计算对应的3个行列式。
再通过上面的值求出未知数。
是不是感觉方便多了，知识就是力量，高等数学果然不一样。小学生都可以学会的技能，可以广泛的应用到生活中。
我猜肯定有同学会问，如果有3个未知数甚至更多怎么办呢，有没有3阶行列式，n阶行列式呢？答案肯定是有的啊，非大学与大学数学知识最大的一个区别就是推广，大学以下只教你1，2，3，大学以上教你m，n。
总结
数学知识真的非常重要，但在学校那会单纯的学习1+1=2真的枯燥和乏味，如果结合生活中的应用场景，就会变得很有意思了。
140 克盐如何 3 次分成 50 克、90 克？
故事起源
有一个天平，7克、2克砝码各一个，如何只用这些物品三次将140克盐分成50g，90g各一份？
不用砝码的情况
天平是用于衡量是否相等，所以如果不借助砝码，只能等分。
如第一次分成70和70，第二次可以分成35和35，第三次可以等分35或者105。
但上面分出的数值，是无法组合成50或者90的。所以接下来就考虑借助砝码的情况。
借助砝码的情况
方法一
砝码和盐各放一边，可以得到2，7，9，x-2，x-7，x-9克重量。
方法二
砝码放一边，将克盐放两边，可以得到如下重量。
方法三
砝码放两边，盐放一边或者两边.
这样就把所有的可能枚举完了，接下来就要看如果用这些方式组合成目标数。
用码组合
35克
前2步不用砝码可以得到35克，再结合砝码可以得到如下。
可以看到红色产生了15克，加上35克刚好50，这就有一个解。
70克
前1步不用砝码，能得到70克，再结合砝码。
称一次：
称二次：
根据上面一次的结果来看，盐放两边和砝放两边都无法再组合。但如果盐放一边可以多一个砝。
刚好发现如果先分成9+61。再用多的9+2来分61刚好得50，又得一个解。
140克
一开始就借助砝码得到不同的重量，不过这个解很难直接看出来。
用砝码拼凑
如果按下面的方法称一次，就会得到相同重量的盐，所以也可以把右边的盐当成一个砝码，这样称三次就不只是2个砝码了。
接下来我们用这种方法，看能称出哪些重量的盐。
然后我们就要用这些数字，看能否组合成50或者90。
很容易可以发现下面的红色加起来刚好就是50。
也就是要4个2g的，和6个7g的。
如果用数学方法也可以得到上面的结论。
只有2个砝码，2克和7克的，如果用这2个来随意组合。
设x个2克，y个7克，即2x+7y=50，整数解如下：
| x | y |
|---|---|
| 18 | 2 |
| 11 | 4 |
| 4 | 6 |
因为只能称三次，前两组解是无法组合出这么多的，所以得到2x4+7x6=50。
组合一
天平称一次，可以将重量翻一倍。上面砝码是分开的，次数不够，所以需要合并。
重新组合成(2x2+7x3)x2。
那么最后一次要先得到2x2+7x3=(2+7)+(2+7)+7，又得到一组解。
具体过程如下：
第一次，第二次：
第三次：
组合二
这组解也很难直接发现，因为要利用到砝码的5g差。
过程抽象
整个过程其实就是一个搜索的思路，DFS或者BFS，但我想用动态规划里面的语言来抽象描述一下。
初始条件：开局一个天平，2，7克砝码，140g盐。
决策：第2，3小节里，不用砝码，和借助砝码的多种方法。
阶段：总共称三次，每一次就是一个阶段。
状态：每过一个阶段，能得到的不同的情况。
状态转移：根据上面不同的决策转移到下一个状态。
总结
初始条件很简单，但决策很多，每过一个阶段，状态也会成倍的增加。而且阶段有3层，最后的状态数已经很多了，人工模拟还是比较难的。最好的方法还是参考4、5小节，看能否快速找到一个可行解。
